正定二次型一定是标准型吗(正定二次型的定义判定方法)

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大家好，今天来介绍正定二次型一定是标准型吗的问题，以下是渲大师小编对此问题的归纳和整理，感兴趣的来一起看看吧！

正定二次型的定义

正定二次型的定义是：若对任何非零向量x，实二次型，如果对任何x≠0都有（x）>0（显然（0）=0），则称为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为Q（x）=x^TAx的形式，其中x=（x1,x2,...,xn）是n维列向量，A是一个n*n的实对称矩阵。如果A的所有特征值都大于0，则称Q（x）是正定二次型。

正定二次型具有以下性质：Q（x）的取值范围为[0,+∞毕蔽），即Q（x）的值始终为非负数。当x≠0时，Q（x）>0。正定二次型的矩阵A必须是实对称矩阵，且所有特征值均为正。正定二次型的矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

判定方法：

1、特征值法：对于一个实对称矩阵A，如果其所有特征值均为正，则A是正定矩阵，对应的二次型Q（x）为正定二次型。

如果所有特征值均为负，则A是伏御负定矩阵，对应的二次型Q（x）为负定二次型。如果存在正负特征值，则A是不定矩阵，对应的二次型Q（x）既不是正定二次型也不是负定二次型。

2、主元法：将二次型Q（缺数岩x）化为标准形式，即Q（x）=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λny^n2，其中λ1,λ2,...,λn为A的特征值，y1,y2,...,yn为x在A的特征向量基下的坐标。

如果λ1,λ2,...,λn均为正数，则Q（x）为正定二次型。如果λ1,λ2,...,λn均为负数，则Q(x)为负定二次型。如果存在正负特征值，则QQ（x）既不是正定二次型也不是负定二次型

正定二次型的判定方法

二次型正定的判别方法：写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次铅亮铅型的正定性。对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛，而正定二次型又是实二次型中一类特殊的二次型。因此，研究正定二次型槐好的键唯判别具有非常重要的意义。基于正定二次型的定义，总结给出了正定二次型的几种基本判别方法，其中包括定义法,正惯性指数法，顺序主子式法等并结合例题分析判定的具体应用。

历史

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。

1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

线性代数二次型 标准型与正定二次型的区别

标准型是只含有平方项，对系的正负没有要求，正定二蠢卖次型要求平激悉方项的系数必须为明档乎正。