正定二次型判断方法(正定二次型的判定方法是什么)

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大家好，今天来介绍正定二次型判断方法的问题，以下是渲大师小编对此问题的归纳和整理，感兴趣的来一起看看吧！

正定二次型的判定方法是什么

正定二次型的判别方法：

1：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定；

2：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定；

3：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定.

注：设A为n阶方阵，则位于A的左上角的1阶，2阶，...，n阶子式，

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将搭中昌二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值培历个数是否等于来判定二次型的正定性。

来源：-正定二次型知扒

什么是正定二次型如何判定

定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＞0，则称此二次型为正定二次型，并把其对称矩阵A称为正定矩阵.
正定二次型的判别方法:

1）：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定；

2）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定；

3）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定.

注：设A为n阶方阵，则位于A的左上念茄角的1阶，2阶，...，n阶子式，

即：称为A的各阶顺序主子式.

二次型正定的判别方法

二次型正定的判别方法为：写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二培慎次型的正定性。对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

若对任何非零向量x，实二次型f（x）如果对任何x≠0都有f（x）>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。其判粗中包括定义法，正惯性指数法，顺序主子式法等并结合例题分析判定的具体应用。

二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛，而正定二次型又是实二次型中一类特殊的二次型。因此，研究正定二次型的判别具有非常重要的意义。基于正定二次型的定义，总结给出了正定二次型的几种基本判别方法。

二次型的系统研究是配冲敬从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

正定二次型是什么

正定二次型：若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

判定方法：

1，行列式法

对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序冲段主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正销芦定性。

2，正惯性指数法

对于给定的二次散斗誉型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于来判定二次型的正定性。

性质

（1） n阶实对称矩阵 A正定A的正惯性指数等于 nA与单位矩阵合同A的顺序主子式大于零A的特征值大于零=>A的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）

（2）若阶实对称矩阵和正定，为实数，则

①（逆）、（伴随矩阵）、均正定；

②正定；

③正定

---正定二次型

怎么判断一个二次型是正定的

方法1：
可配方为(3*x1)^2+(2*x2+1/4x3)^2+63/4*(x3)^2
故正惯性指数为3，负惯性指数为0，选D
方法2：
写出二次型矩碧枝阵如下：
3 0 0
0 4 1
0 1 4
因为各阶顺序主子式均大于0，故为正定二次型。正惯性指数为3
方法3，我觉得最好理解！
对二次型矩阵求特征值：
令下面腔租行列式为0
3-λ 0 0
0 4-λ 1
0 1 4-λ
即伍慧兆(5-λ)*(3-λ)^2=0，有λ为3、3、5，故正惯性指数为3