正定二次型的充要条件(二次型正定满足的条件)

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大家好，今天来介绍正定二次型的充要条件(二次型正定的充要条件例题)的问题，以下是渲大师小编对此问题的归纳和整理，感兴趣的来一起看看吧！

二次型正定的充要条件是什么

二次型正定的充要条件：元实二次型f(z)= a" Aa正定的充要条件是它的标准形的n个系数全为正，即它的正惯性指数”p=n”。

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种：

行列式法：

对于给定的二次型f (x ,x),.…. ,X,)= XTAX，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所枝罩孙有顺序主子式是否全大闷厅于零来判定二次型(或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法：

对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形猛链后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

二次型正定的充要条件是什么

二次型正定的充要条件是必要条件就是二项型正定一定满足的条件，反之满足这个条件，二次型不一定正定。

这里是指矩阵范数还是说矩阵的行列式值不过这两个概念，都跟这个题目没有多大关系首先应该考虑什么条件，可以得到它是正定二次型上述证明。是一种是通过定义证明的也可以通过证明矩阵是正定矩阵。

正定矩阵判定定理:

定理1:n元实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的充分旦拦必要条激简件是它的正惯性指模铅胡数等于n，推论1:n元实二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是它的矩阵a的特征值全大于零。推论2:n元二次型f=xtax正定(实对称矩阵a正定)的充要条件，是存在可逆c，得ctac=e(即a与n阶单位矩阵e合同)。

所以可得，选项(a)存在的正交矩阵p必须是可逆的，是充分而非必要条件，选项(b)负惯性指数为零，正惯性指数不一定是n，是必要非充分条件，选项(c)存在矩阵必须c是可逆的，是必要非充分条件，故选择d。

正定的充要条件是什么

正定的充要条件是A的特征值全为正。判定定理2，对称阵A为正定的充分必要条件是，A的各阶顺序主子式都为滚困正。设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何一非零实向量X，都使二次f(X)=X′MX>悄备并0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。

定理介绍：

正定矩阵在相合变换下可化为规范型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵。另一种定义，一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，...，xn)=X'AX的矩阵A(=A')称为正定矩阵。
判定定理1，对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正。

判定定理2，对称阵A为正定的充分必要条件是A的各阶启迹顺序主子式都为正。

判定定理3，任意阵A为正定的充分必要条件是A合同于单位。

二次型f=x^TAx(A为实对称针)正定的充要条件是

n元实二次型 f (x1,x2,…,xn)为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于消亩改n。

n元实二次型f (x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是它的矩阵A的特征值全大于零。

n元二次型f =XTAX正定(实对称矩阵A正定)的充要条件，是存在可逆C，使得CTAC=E (即A与n阶单位矩阵E合同)。正定矩阵的行列式大于零。

历史

二次型的系统研究是从耐档18世纪开始的，它起源拿判于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。

简述判断n元实二次型正定的充分必要条件

n元实二次型xTAx正定的充分必要条件有：

（1）A的正惯性指数是n；

（2）A与E合同，即存在敬誉可逆矩阵C，使得CTAC=E；

（亮樱段3）A的所有特征值均为正数；

（4）A的各阶顺序主子式均大于零；

此外，n元实二次型xTAx正定的必要条件有：

（1）｜A>0；

（2）aii>0(i=1,2……n)

最后，判断n元实二次型是否正定时，可以看二次型矩阵的主对角线系数是否都为整数、行列式是否为零。对待低阶矩阵也可以计算各阶顺序主子式事是否均大于零，计算特征值较慢不推荐。

实二次型

此定理由西尔维斯特（J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比（C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。

两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的颂雀秩，且有相同的正惯性指数（或有相同的秩与符号差）。